आज के इस आर्टिकल हम गोले का आयतन (Gole Ka Aaytan), सम्पूर्ण पृष्ठ, अर्द्धगोला का सम्पूर्ण पृष्ठ और अर्द्धगोला का आयतन को निकलना सीखेगें।
गोले की परिभाषा : गोला एक ऐसी त्रिआयामी (3D) आकृति होती हैं, जिसमे सतह का प्रत्येक बिन्दु एक स्तिर बिन्दु से सामान दूरी पर होता है तो यह आकृति गोला कहलाती हैं।
गोले का केन्द्र : स्थिर बिन्दु को गोले का केन्द्र कहते हैं। गोले के केन्द्र को सदैव ‘O’ से प्रदर्शित किया जाता हैं।
गोले की त्रिज्या: स्थिर बिंदु से गोले की सतह तक की दूरी को ‘गोले की त्रिज्या‘ कहते हैं गोले की त्रिज्या को सदैव Small latter के (r) अक्षर से प्रदर्शित करते हैं।
गोले का सम्पूर्ण पृष्ठ निकालने का सूत्र –
गोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = 4πr2
गोले का आयतन निकालने का सूत्र
गोले का आयतन (V) = 4/3πr3
इस समीकरण में (V) गोले की आयतन को तथा (r) गोले की त्रिज्या को प्रदर्शित करता हैं।
गोले के सम्पूर्ण पृष्ठ एवं आयतन से संबंधित महत्वपूर्ण उदाहारण:
प्रश्न (1). 14 सेमी व्यास वाले गोले का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
उत्तर = जब गोले का व्यास दिया गया हो तो उसकी त्रिज्या ज्ञात करने के लिए प्यास में 2 से भाग दिया जाता है।
दिया हैं गोले का व्यास (2r) = 14 cm
गोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = ?
∵ गोले के व्यास को सदैव (2r) से प्रदर्शित किया जाता हैं।
गोले की त्रिज्या (r) = 2r/2 = 14/2 = 7cm
| ∵ (π) का मान सदैव 22/7 होता हैं |
गोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = 4πr2
= 4 × 22/7 ×7 × 7
= 88 × 7
= 616 वर्ग सेमी०
अत: गोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = 616 वर्ग सेमी
प्रश्न (2). 14 cm व्यास वाले गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।
उत्तर = दिया हैं गोले का व्यास (2r) = 14 cm
तो गोले की त्रिज्या (r) = 2r/2 = 14/2 = 7 cm
r =7 cm
गोले का आयतन = 4/3πr3
= 4/3 × 22/7 × 7 × 7 ×7
= 4 × 22 × 7 × 7 /3
= 88 × 49 /3
= 4312 /3
= 1437.33 घनसेमी
अर्द्धगोला (Hemisphere) की परिभाषा: यदि गोले की किसी समतल द्वारा उसके केंद्र से होता हुआ काटा जाये तो गोले के दो बराबर भाग हो जाते हैं जिन्हें अर्द्धगोला कहते हैं ।
अर्द्धगोला का सम्पूर्ण पृष्ठ निकालने का सूत्र या फार्मूला
अर्द्धगोला का सम्पूर्ण पृष्ठ = 3πr2
अर्द्धगोला का आयतन निकालने का सूत्र या फार्मूला
अर्द्धगोला का आयतन = 2/3πr3
समीकरण में (V) अर्द्धगोले का आयतन तथा (r) अर्द्धगोले की त्रिज्या को प्रदर्शित करता हैं।
अर्द्धगोले के सम्पूर्ण पृष्ठ एवं आयतन ज्ञात करने से संबंधित महत्वपूर्ण उदाहरण
जब अर्द्धगोले की त्रिज्या दिया हो तो उसका सम्पूर्ण पृष्ठ निम्न विधि से ज्ञात किया जाता हैं।
प्रश्न (1). एक अर्द्धगोले की त्रिज्या 7 सेमी हैं उसका सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए ?
उत्तर = दिया है अर्द्धगोले की त्रिज्या (r) = 7 सेमी
ज्ञात करना हैं, अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठ =?
अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = 3πr2
= 3 × 22/7 × 7 ×7
= 66 × 7
= 462 वर्ग सेमी०
अत: अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = 462 वर्ग सेमी०
जब अर्द्धगोले का व्यास दिया गया हो तो संपूर्ण पृष्ठ ज्ञात करने के लिए इन विधि का प्रयोग करते हैं।
प्रश्न (2). एक अर्ध गोले का व्यास 14 सेमी है उसका संपूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए?
उत्तर = दिया है अर्द्धगोले का व्यास = 14 सेमी
ज्ञात करना है, अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = ?
अर्द्धगोले की त्रिज्या (r) = व्यास / 2 = 2r/2 = 14/2 = 7
r = 7 सेमी०
| ∵ (π) का मान सदैव 22/7 होता हैं |
अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = 3πr2
= 3 × 22/7 × 7 ×7
= 66 × 7
= 462 वर्ग सेमी०
जब अर्द्धगोले की त्रिज्या दिया गया हो तो अर्द्धगोले का आयतन इस विधि से ज्ञात किया जाता है–
प्रश्न (2). एक अर्द्धगोले का त्रिज्या 7 सेमी है उसका आयतन ज्ञात कीजिए?
उत्तर = दिया है अर्द्धगोले की त्रिज्या (r) = 7 सेमी
ज्ञात करना है, अर्द्धगोले का आयतन = ?
अर्द्धगोले का आयतन = 2/3πr3
= 2/3 × 22/7 × 7 × 7 × 7
= 44 × 49/3
= 2156/3
= 718.66 घन सेमी०
अत: अर्द्धगोले का आयतन = 718.66 घन सेमी०
जब अर्द्धगोले का व्यास किया गया हो तो अर्द्धगोले का आयतन इस विधि से ज्ञात किया जाता है–
प्रश्न (2). एक अर्द्धगोले का व्यास 14 सेमी है उसका आयतन ज्ञात कीजिए ?
उत्तर = दिया है अर्द्धगोले का व्यास = 14 सेमी
ज्ञात करना है अर्द्धगोले का आयतन = ?
अर्द्धगोले की त्रिज्या (r) = 14/2 = 7 cm
r = 7 cm
अर्द्धगोले का आयतन = 2/3πr3
= 2/3 × 22/7 × 7 × 7 ×7
= 44 × 49/3
= 2156/3
= 718.66 घन सेमी०
अत: अर्द्धगोले का आयतन = 718.66 घन सेमी०
निष्कर्ष,
इस आर्टिकल में मैंने आपको बताया कि गोले का आयतन (Gole Ka Aaytan), सम्पूर्ण पृष्ठ, अर्द्धगोला का सम्पूर्ण पृष्ठ और अर्द्धगोला का आयतन कैसे निकाला जाता है। अगर अभी भी आपको कुछ समझ नहीं आया हो तो आप नीचे comment करके अपना सवाल पुछ सकते हो।
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