वर्ग और वर्गमूल कैसे निकालते हैं

वर्ग और वर्गमूल: वर्ग को अंग्रेजी में Square और वर्गमूल को अंग्रेजी में Square Root कहते हैं।

वर्ग किसे कहते हैं

जब किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा करे तो प्राप्त गुणनफल को, गुणा की गई संख्या का वर्ग कहते हैं।

उदाहरण:

1. 5 का वर्ग = 5² = 25
2. 6 का वर्ग = 6² = 36
3. 7 का वर्ग = 7² = 49
4. 9 का वर्ग = 9² = 81

उपरोक्त कथनों से यह कहा जा सकता हैं कि 5 का वर्ग 25 हैं, 6 का वर्ग 36 हैं, 7 का वर्ग 49 हैं और 9 का वर्ग 81 हैं। इस प्रकार किसी संख्या “की घात दो (2)” को उस संख्या का वर्ग (varg) कहते हैं।

उदाहरण: ऋणात्मक पूर्णांक संख्यायों -1, -2, -3, -4 और -5 का वर्ग ज्ञात कीजिए

उत्तर:

• (-1)² = (-1) × (-1) = 1
• (-2)² = (-2) × (-2) = 2
• (-3)² = (-3) × (-3) = 9
• (-4)² = (-4) × (-4) = 16
• (-5)² = (-5) × (-5) = 25

नोट:—

• वर्ग पूर्णांकों के वर्गमूल धनात्मक तथा ऋणात्मक पूर्णांक होते हैं। जैसे: √x² = ±x
• शून्य का वर्ग शून्य होता हैं।
• किसी सम संख्या का वर्ग एक सम संख्या होती है।
• किसी विषम संख्या का वर्ग भी एक विषम संख्या ही होती है।
• जिस संख्या के अंत में इकाई का अंक 2, 3, 7 या 8 हो, तो वह संख्या पूर्ण वर्ग नहीं होगी।

1 से 100 तक के वर्ग (1 to 100 square)
12 = 1	22 = 4	32 = 9	42 = 16	52 = 25
62 = 36	72 = 49	82 = 64	92 = 81	102 = 100
1 12 = 121	122 = 144	132 = 169	142 = 196	152 = 225
162 = 256	172 = 289	182 = 324	192 = 361	202 = 400
212 = 441	222 = 484	232 = 529	242 = 576	252 = 625
262 = 676	272 = 729	282 = 784	292 = 841	302 = 900
312 = 961	322 = 1024	332 = 1089	342 = 1156	352 = 1225
362 = 1296	372 = 1369	382 = 1444	392 = 1521	402 = 1600
412 = 1681	422 = 1764	432 = 1849	442 = 1936	452 = 2025
462 = 2116	472 = 2209	482 = 2304	492 = 2401	502 = 2500
512 = 2601	522 = 2704	532 = 2809	542 = 2916	552 = 3025
562 = 3136	572 = 3249	582 = 3364	592 = 3481	602 = 3600
612 = 3721	622 = 3844	632 = 3969	642 = 4096	652 = 4225
662 = 4356	672 = 4489	682 = 4624	692 = 4761	702 = 4900
712 = 5041	722 = 5184	732 = 5329	742 = 5476	752 = 5625
762 = 5776	772 = 5929	782 = 6084	792 = 6241	802 = 6400
812 = 6561	822 = 6724	832 = 6889	842 = 7056	852 = 7225
862 = 7396	872 = 7569	882 = 7744	892 = 7921	902 = 8100
912 = 8281	922 = 8464	932 = 8649	942 = 8836	952 = 9025
962 = 9216	972 = 9409	982 = 9604	992 = 9801	1002 = 10000

वर्गमूल किसे कहते हैं

किसी दी गई संख्या का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग करने पर मूल संख्या (दी हुई संख्या) प्राप्त होती है। यानी किसी संख्या का वर्गमूल उस संख्या के दो बराबर गुणनखंडों में से एक गुणनखंड के बराबर होता है। इसे चिन्ह √ या ²√ से प्रदर्शित करते हैं।

उदाहरण:

• 4 का वर्गमूल = √4 = 2
• 9 का वर्गमूल = √9 = 3
• 16 का वर्गमूल = √16 = 4
• 25 का वर्गमूल = √25 = 5
• 49 का वर्गमूल = √49 =7

नोट:—

• शून्य का वर्गमूल शून्य होता हैं।
• किसी संख्या का पूर्ण संख्यात्मक वर्गमूल तभी संभव हो सकता है जब उस संख्या के इकाई का अंक 0, 1, 4, 5 या 9 में से कोई एक हो।

वर्गमूल ज्ञात करने की विधियाँ

वर्गमूल करने (ज्ञात करने) की दो विधियाँ हैं:

1. गुणनखण्ड विधि
2. भाग विधि

गुणनखंड विधि से वर्गमूल (Square Root by Factorization Method)

इस विधि का प्रयोग तथी सम्भव हैं जब दी गई संख्या पूर्ण वर्ग हों। इस विधि द्वारा गुणनखण्ड निकलने वाली संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए उसको गुणनखंड के रूप में तोड़कर बराबर संख्या का जोड़ा बनाया जाता है। तथा प्रत्येक जोड़ा में से एक – एक संख्या को लेकर उनको आपस में गुणा कर देते हैं। इस प्रकार प्राप्त गुणनफल अभीष्ट वर्गमूल होता है।

उदाहरण:—

√36 = √ 2 × 2 × 3 × 3 = 2 × 3 = 6

√144 = √2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2 × 2 × 3 = 12 अर्थात् √144 = 12

√576 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2 × 2 × 2 × 3 = 24 इस प्रकार, √576 का वर्गमूल = 24

भाग विधि से वर्गमूल (Square Root by Division Method)

भाग विधि द्वारा वर्गमूल निकालने के लिए दी गई संख्या में से दायी ओर से दो – दो अंकों के जोड़े बनाये जाते हैं यदि सबसे बायीं ओर एक अंक बचता है तो भाग की क्रिया उसी अंक से शुरू करते हैं या जोड़ा अंक बचता है तो उसी जोड़ा अंक से भाग की प्रक्रिया शुरू करते हैं।

उदाहरण:— 1849 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए

हल:

अत: √1849 = 43

भाग की प्रक्रिया पूरी हो जाने के बाद भागफल ही दी गई संख्या का वर्गमूल होगा अतः 1849 का वर्गमूल 43 होगा

उदाहरण:— 11449 का वर्गमूल ज्ञात करो

हल:

अत: √11449 = 107

दशमलव संख्याओं का वर्गमूल कैसे निकाला जाता है

किसी भी दशमलव संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए दशमलव बिंदु के दाहिने और बायें दोनों तरफ दो – दो अंकों का समूह बनाया जाता है। परंतु यह ध्यान रखा जाता है कि पूर्णांकों का समूह इकाई के अंक से बायें ओर बनते हैं जबकि अपूर्णांकों का समूह दशमलव बिन्दु से दाहिने की ओर बनते हैं। जैसे 4.6225 का समूह और 4.6225 होगा। तथा यदि अपूर्णांकों की संख्या विषम हो तो अंत में 0 (शून्य) बढ़ाकर जोड़े बनाये जाते हैं। जैसे 158. 572 के समूह 158.5720 होंगे।

उदाहरण:— 4.6225 का वर्गमूल ज्ञात करो

हल:

भिन्नों का वर्गमूल ज्ञात कैसे करें

(1) यदि भिन्न के अंश और है दोनों वर्ग संख्या हो तो भिन्न का वर्गमूल ज्ञात करने का सूत्र —

भिन्न का वर्गमूल = अंश का वर्गमूल/हर का वर्गमूल

उदाहरण:— का वर्गमूल ज्ञात कीजिए

हल: 9/25 का वर्गमूल = √9/√25 = 3/5

अत: 9/25 का वर्गमूल 3/5 होगा

(2) अगर अंश और हर में कोई एक वर्ग संख्या है या दोनों वर्ग संख्या नहीं है तो अंश में हर से भाग देकर दशमलव में भागफल प्राप्त कर लेते हैं इसके बाद भागफल में भाग विधि से वर्गमूल निकालते हैं। या अंश और हर दोनों का अलग-अलग भाग विधि से वर्गमूल (vargmul) निकालकर पुन: भाग दे देते हैं

उदाहरण:— 1/5 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए

हल: 1/5 का वर्गमूल निम्नलिखित प्रकार ज्ञात करेगें —

1/5 = 0.2

∵ शेष 84 के आधे से अधिक हैं अत: निकटतम वर्गमूल 0.45 होगा।

महत्वपूर्ण वर्गमूल

√2 का वर्गमूल = 1.414

√3 का वर्गमूल = 1.732

√5 का वर्गमूल = 2.236

√6 का वर्गमूल = 2.449

√7 का वर्गमूल = 2.646

√8 का वर्गमूल = 2.828

√10 का वर्गमूल = 3.162

√11 का वर्गमूल = 3.317

√12 का वर्गमूल = 3.464

√13 का वर्गमूल =3.606

√14 का वर्गमूल = 3.742

√15 का वर्गमूल = 3.873

यह भी देखें,

• घन और घनमूल
• गोले का आयतन (Gole Ka Aaytan) और सम्पूर्ण पृष्ठ कैसे ज्ञात करें
• Percentage Kaise Nikale – प्रतिशत कैसे निकाले?
• Mathematical symbols in Hindi – गणित के सभी चिन्हों एवं संकेतों के नाम हिंदी में
• System Of Numeration

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